Question

如图，抛物线y=ax²+bx+5/2与直线AB：y=1/x+1/2交于x轴上一点A，和另一点B（4，n)

如图，抛物线y=ax²+bx+5/2与直线AB：y=1/2x+1/2交于x轴上一点A，和另一点B（4，n)点P是抛物线A,B两点间部分上的一个动点（不与点A,B重合),直线PQ与直线AB垂直，交直线AB于点Q，（1），求抛物线的解析式和cos∠BAO的值（2）设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出线段PQ长的最大值，
（3）点E是抛物线上一点，过点E作EF∥AC，交直线AB于点F，若以E\F\A\C为顶点的四边形为平行四边形，请求出相应的点E的所有坐标。

Answer 1

在直线Y=1/2X+1/2中，令Y=0得X=-1，∴A(-1，0)，
令X=4得，Y=5/2，∴B(4，5/2)，
抛物线过A、B，得方程组：
0=a-b+5/2
5/2=16a+4b+5/2
解得：a=-1/2，b=2，
∴抛物线解析式为：Y=-1/2X^2+2X+5/2。
过B作BB‘⊥X轴于B’，则BB“=5/2，AB=5，
∴tan∠BAO=(5/2)/5=1/2。
⑵过P作PP‘⊥X轴于P’，交AB于R，
则ΔPQR∽ΔAP‘R(直角、对顶角)，∴∠QPR=∠BAO，
又从tan∠BAO=1/2可得，cos∠BAO=2/√5，
由P(m，-1/2m^+22+5/2)得：R(m，1/2m+1/2)，
∴PR=(-1/2m^2+2m+5/2)-(1/2m+1/2)=-1/2m^2+3/2m+2=-1/2(m-3/2)^2+25/8，
PQ=PR*cos∠QPR=-√5/5(m-3/2)^2+5√5/4，
∴当m-3/2=0，即m=3/2时，PQ最大=5√5/4。
⑶易得直线AC：Y=5/2X+5/2，设直线AB交Y轴于D，则CD=2，
设E(n，-1/2n^2+2n+5/2)，过E作EE’⊥X轴交直线AB于G，
G在直线Y=1/2X+1/2上，∴G(n，1/2n+1/2)，
∴EG=|(-1/2n^2+2n+5/2)-(1/2n+1/2)|
=|-1/2n^2+3/2n+2|，令EG=CD=2得：
-1/2n^2+3/2n+2=2或-1/2n^2+3/2n+2=-2，
解得：n=3或0(与C重合，舍去)，n=(3±√41)/2，
E(3，75/8)或(［3+√41］/2，2)或(［3-√41］/2，2)。

追问

前面都对了，只是E(3，75/8)或(［3+√41］/2，2)或(［3-√41］/2，2)。这个过程计算错了，

追答

横坐标正确吧，求纵坐标时，关系式代错了。
-1/2n^2+3/2n+2=2
n=0或3，
当n=3时Y=-1/2n^2+2n+5/2=-9/2+6+5/2=4，
-1/2n^2+3/2n+2=-2，
n^2-3n=8，(n-3/2)^2=41/4，n=(3±√41)/2，
Y=-1/2n^2+2n+5/2
=-(50±6√41)/8+(3±√41)+5/2
=-3/2±11/8√41，
∴E(3，4)或(3/2+1/2√41，-3/2+11/8√41)或(3/2-1/2√41，-3/2+11/8√41)。

Answer 2

(1)
y = x/2 + 1/2
y = 0, x = -1, A(-1, 0)
x = 4, y = 5/2, B(4, 5/2)
分别代入抛物线:
a - b + 5/2 = 0 (i)
16a + 4b + 5/2 = 5/2, b = -4a
代入(i), a = -1/2, b = 2
y = -x²/2 + 2x + 5/2
y = x/2 + 1/2, 取x = 0, y = 1/2, 直线与轴交于D(0, 1/2)
AD = √[(-1 - 0)² + (0 - 1/2)²] = √5/2
AO = 1
cos∠BAO = AO/AD = 2√5/5

(2)
y = x/2 + 1/2的斜率为1/2, PQ的斜率为-2
P(m, -m²/2 + 2m + 5/2)
PQ的方程: y - (-m²/2 + 2m + 5/2) = -2(x - m)
与y = x/2 + 1/2联立, Q((-m² + 8m + 4)/5, (-m² + 8m + 9)/10)
PQ² = [m - (-m² + 8m + 4)/5]² + [-m²/2 + 2m + 5/2 - (-m² + 8m + 9)/10)]²
= (1/25)(m² - 3m - 4)²
P是抛物线A,B两点间部分上的一个动点, -1 < m < 4, m² - 3m - 4 < 0
PQ = (1/5)(-m² + 3m + 4)
= -(1/5)(m² - 3m - 4)
= -(1/5)[(m - 3/2)² - 25/4]
m = 3/2时, PQ长最大, 为5√5/4

(3)
C(0, 5/2)
AC的斜率为5/2, 方程y = 5x/2 + 5/2
F(f, f/2 + 1/2)
EF的方程:y - f/2 - 1/2 = (5/2)(x - f)
太辛苦，有空再做。
太辛苦，有空再做。

Answer 3

初三数学题，没兴趣