Question

讨论关于x的方程(x^2-1)^2-│x^2-1│+k=0

我看了看网上搜得答案
设|x²-1|=y y≥0; 因此原式变为y²-y+k=0.
(1).当k>1/4时,整个方程无解
(2).当k=1/4时 方程有两个相等的解,就是 y=1/2
因此x²-1=1/2或x²-1=-1/2
因此方程有8个根(有四对相等的根)
(3).当k=0时 也就是y=1或者y=0===>x²-1=1;x²-1=-1和x²-1=0
即x=±√2,x=0 和x=±1
因此方程有5个根
(4).当0<k<1/4,取k=2/9 ,就变成（y-1/3)(y-2/3）=0 ,因此y=1/3和y=2/3
也就是x²-1=-1/3, x²-1=1/3, x²-1=2/3,x²-1=-2/3
因此方程有8个根
(5).当k<0时, 取k=-6,则方程变为（y-3)（y+2）=0 解得y=3或y=-2
显然y不能等于-2 ,因此方程变为x²-1=3 或x²-1=-3
也就是x²=2,x²=-2 ,显然后一个方程无解
因此方程只有两个根

问题1：想到delta，那我只会、分k>1/4，k=1/4，k<1/4,为什么还要分0<k<1/4和k<0呢？怎么想到的？
问题2，当0<k<1/4,为什么取k=2/9？
问题3：当k<0时, 为什么取k=-6？

有没有其他方法解这题？
谢谢

Answer 1

问题1：这题用作图发来解释就可以了，对于函数y=|x^2-1|的图像如图所示，显然

当y<0时无解，当y=0或y>1时有两个解，当y=1时，有三个解。所以讨论时必须涵盖y=1这个特殊的点，因为此时x有三个不同的值。而y=1时，k=0,所以k=0这个点需要单独讨论。

另外对于二次函数f(y)=y^2-y+k而言，函数图像如图所示，开口向上，对称轴为-1/2，f(0)=k

显然用判别式可以知道k=1/4也为一个分界点。那么对于有两个特殊分界点k=0和k=-1/4的情况，必须要分k>1/4,k=1/4,1/4<k<0,k=0,k<0这五种情况。

问题2和问题3：k=2/9和k=-6这实际上是取特殊值法来判断根的个数，其实可以根据图像直接得出结论。

这题的简便方法就是作图，但是也要分情况讨论。

追问

那我根据你画图来做，不是只能看出y=|x^2-1|的根吗？然后又画y=x^2-x k的图。这两者画出来之后，再怎么判别根的个数情况啊？

比如0＜k＜1／4时

我看懂了

谢谢