Question

定义在[-1,1]上的偶函数f(x),已知当x属于[-1,0]时f(x)

定义在[-1,1]上的偶函数f(x),已知当x属于[-1,0]时f(x)=1/4^x-1/2^x (1)f(x)在[0,1]上的解析式 (2)求f(x)在[0,,1]上的最大值

Answer 1

设0<=x<=1,则有-1<=-x<=0,故有f(-x)=1/4^(-x)-1/2^(-x)=4^x-2^x
又是偶函数,则有f(x)=f(-x)
故当x属于[0,1]上时有f(x)=f(-x)=4^x-2^x
(2)f(x)=(2^x)^2-2^x.
设t=2^x,x属于[0,1],则有t属于[1,2]
f(t)=t^2-t=(t-1/2)^2-1/4
对称轴是t=1/2,则在[1,2]上是增函数,故有最大值是f(2)=4-2=2

Answer 2

答：
（1）f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)
0<=x<=1时，-1<=-x<=0，f(-x)=1/4^(-x)-1/2^(-x)=f(x)
所以：x∈[0,1]时，f(x)=4^x-2^x

（2）x∈[0,1]时，1<=2^x<=2，f(x)=4^x-2^x=(2^x)^2-2^x=（2^x-1/2)^2-1/4
所以：当2^x=2即x=1时，f(x)最大值为f(1)=4-2=2

Answer 3

设0<=x<=1,则有-1<=-x<=0,故有f(-x)=1/4^(-x)-1/2^(-x)=4^x-2^x
又是偶函数,则有f(x)=f(-x)
故当x属于[0,1]上时有f(x)=f(-x)=4^x-2^x
(2)f(x)=(2^x)^2-2^x.
设t=2^x,x属于[0,1],则有t属于[1,2]
f(t)=t^2-t=(t-1/2)^2-1/4
对称轴是t=1/2,则在[1,2]上是增函数,故有最大值是f(2)=4-2=2

Answer 4

f(-x)=f(x)
1) f(x)在[0,1]上的解析式: f(x)= 1/4^(-x) - 1/2^(-x) = 4^x - 2^x
2) f(x) = 2^(2x) - 2^x
= ( 2^x - 1/2)² - 1/4
≤ ( 2^1 -1/2)² - 1/4 = 2
f(x)在[0 ,1]上的最大值是2