Question

如图,已知关于x的二次函数y=ax²+bx+c(c>0)的图像与x轴交于AB两点,(点A在点B的左侧），与Y轴交于点C，

且OB=OC=3，顶点为M（1）求出二次函数的关系式（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作X轴的垂线PD，垂足为D,若OD=m，△pcd的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△pcd为直角三角形？如果存在，求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由

Answer 1

如图,已知关于x的二次函数y=ax²+bx+c(c>0)的图像与x轴交于AB两点,(点A在点B的左侧），与Y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M
（1）求出二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作X轴的垂线PD，垂足为D,若OD=m，△pcd的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△pcd为直角三角形？如果存在，求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由
（1）解析：∵二次函数y=ax^2+bx+c(c>0)
由图知：B(3,0)，C(0,3)
∴y=ax^2+bx+3(a<0)
由韦达定理x+3=-b/a；3x=3/a==>x=1/a
∴-b=1+3a
y=ax^2-(1+3a)x+3
由图知：对称轴x=(1+3a)/(2a)>0==>a<-1/3
∴二次函数的关系式为y=ax^2-(1+3a)x+3(a<-1/3)(由所给条件，无法确定a)
(2)为了方便，不仿令a=-1
则y=-x^2+2x+3==>A(-1,0),B(3,0),C(0,3),M(1,4)
∵点P为线段MB上的一个动点，PD⊥X轴于D，OD=m
设MB解析式为y=kx+b
3k+b=0,k+b=4,联立解得k=-2,b=6
∴MB解析式为y=-2x+6
∴S(⊿PCD)=1/2*OD*PD=1/2*m*(6-2m)=m(3-m)(1<=m<=3)
(3)解析：MB上存在点P，使得△PCD为直角三角形
令P(x,y) (1<=x<=3)
PC斜率：k=(y-3)/x=0==>y=3（此时，PC//X轴）
∴-2x+6=3==>x=3/2
此时，P(3/2,3)，∠CPD=90°