Question

将函数f(x)=1/x展开成(x-4)的幂级数

Answer 1

先变形：
f(x) = 1/x = 1/[(x-4) + 4] = 4 {1/(x-1)/4 + 1}

由泰勒展开式ln(x + 1) = Σ(-1)^(n-1) * x^n/n! 其中n取值为1到正无穷
则可知 1/(x + 1) 的泰勒展开式为ln(x + 1)对x求一阶导数 即 1/(x + 1) = Σ (-1)^(n-1) * x^(n-1)/(n-1)! 其中n取值同上
则我们可以把刚才求的f(x)的表达式类
比，将x替换成x-4 得到结果： f(x) = Σ4(-1)^(n-1) * (x-4)^(n-1)/(n-1)!

Answer 2

　　利用已知展式
　　　1/(1-x) = ∑(n≥0)(x^n)，|x|<1，
则有
　　　f(x) = (1/4)/[1+(x-4)/4]
= (1/4)*∑(n≥0){[-(x-4)/4]^n}
= (1/4)*∑(n≥0)[(-1)^n]{[(x-4)/4]^n}，|x-4|<4。