Question

数学问题

p为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上一点 F1F2为左右焦点 若角F1PF2=a 求离心率范围

Answer 1

1）证明：设|PF1|=m，|PF2|=n，由余弦定理得
（2c）2=m2+n2-2mncosθ
=（m-n）2+2mn-2mncosθ
=4a2+2mn（1-cosθ），
∴mn＝
4c2−4a2
2(1−cosθ)
=
2b2
1−cosθ
，
由正弦定理S△F1PF2=
1
2
mnsinθ=
b2sinθ
1−cosθ
=b2cot
θ
2
．…（5分）
（2）解：因为双曲线的离心率为2，
所以双曲线方程为：3x2-y2=3a2，
由题设知l的方程为：y=x+2，A（a，0），F（2a，0），
联立方程得2x2-4x-4-3a2=0，
x1+x2=2，x1•x2＝−
4+3a2
2
＜0，
若过A、B、D三点的圆与x轴相切，
假定BD为圆的直径，那么BD=2MA，就可以求出a=1，
如果假设不成立，a就无实数解．
因为，不在一条直线的三个点只有一个圆
则BD＝
2
×
48+24a2
2
=2
6+3a2
=2MA，
∴6+3a2=（a-1）2+9，
∴a=1，
∴双曲线方程为x2−
y2
3
＝1．…（8分）
故不妨设x1≤-a，x2≥a，
则|BF|=
(x1−2a)2+y12
=
(x1−2a)2+3x12−3a2
=a-2x1，
|FD|=
(x2−2a)2+y22
=
(x2−2a)2+3x22−3a2
=2x2-a，
∴|BF|•|FD|=（a-2x1）（2x2-a）
=-4x1x2+2a（x1+x2）-a2
=5a2+4a+8
=17，
∴|
DF
|•|
BF
|=17．…（12分）

Answer 2

Answer 3

原题就是这样吗？总觉得缺条件。