Question

计算曲面积分F(t)=∫∫f(x,y,z)dS,曲面为x+y+z=t,

其中f(x,y,z)= 1-x^2-y^2-z^2,x^2+y^2+z^2≤1,
0, x^2+y^2+z^2＞1

Answer 1

∵x²+y²+z²=t²，则z=±√(t²-x²-y²)，αz/αx=-(±x)/√(t²-x²-y²)，αz/αy=-(±y)/√(t²-x²-y²)

∴dS=√(1+(αz/αx)²+(αz/αx)²)dxdy=│t│dxdy/√(t²-x²-y²)

故 F(t)=∫∫<S>│t│(x²+y²)dxdy/√(t²-x²-y²) (S是圆域：x²+y²≤(t/√2)²)

=│t│∫<0,2π>dθ∫<0,t/√2>r²*rdr/√(t²-r²) (作极坐标变换)

=2π│t│∫<0,t/√2>(1/2)(√(t²-r²)-t²/√(t²-r²))d(t²-r²)

=π│t│((√2-4)│t│³/6+(2-√2)│t│)

=πt²((√2-4)t²/6+2-√2)。

扩展资料

曲面积分的物理背景为流量的计算问题，设某流体的流速为v=((P(x、y、z)，Q(x、y、z)，R(x、y、z))从某双侧曲面S的一侧流向另一侧，求单位时间内流经该曲面的流量。

对于曲面积分，积分曲面为u(x、y、z)=0，如果将函数u(x、y、z)=0中的x、y、z换成y、,x后，u(y、z、x)仍等于0，即u(y、z、x)=0。

也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x、y、z)dS=∫∫f(y、z、x)dS；如果将函数u(x、y、z)=0中的x、y、z换成y、x,、后，u(y、x、z)=0。

由于是有向曲面，设它的单位法向量为n=(coα，cosβ，cosγ)，取曲面面积微元dS，则所求的单位时间内流量微元就是dE=(v·n)dS，若记有向曲面向量微元为dS=ndS，则dE=v·dS。