Question

高中数学简单问题如下：

设正有理数x是根号3的一个近似值，令y=1+ 2/1+x
问： （1）若x ＞根号3 ，求证 y＜ 根号3
（2）求证：y比x 更接近于根号3
我是后进生，希望讲详细点

Answer 1

(1)
（x-√3）*(y-√3）
=（x-√3）*(1+2/（1+x)-√3）
=(x-√3）*(2+（1-√3）*(1+x))/(1+x)
=(x-√3）*(3-√3+(1-√3)*x)/(1+x)
=(x-√3）*(1-√3)*(x-√3)/(1+x)
=-(√3-1)*(x-√3)^2/(1+x)<0
因此若x ＞根号3 ， y＜ 根号3
（2）
可分x<√3和x>√3两种情况分别利用（1）的结论证明
先设x<√3，则根据（1）的结论，
只须证明y-√3<√3-x,即x+y-2√3<0,
代入y后不等式可整理为
(1-√3)*(x-√3)/(1+x)+(x-√3)<0,
根据x-√3<0，x>0不等式显然成立
类似的，当x>√3时，
只须证明√3-y<x-√3,即x+y-2√3>0
代入y后不等式可整理为
(1-√3)*(x-√3)/(1+x)+(x-√3)>0,
根据x-√3>0，x>0不等式显然成立

Answer 2

x ＞根号3
x+1>√3+1>1
2/(x+1)<2/(√3+1)=2(√3-1)/[(√3+1)(√3-1)]=√3-1
y=1+2/(x+1)<√3,得证

y比x 更接近于根号3，即证√3-y<x-√3,y+x>2√3
y+x=1+2/(x+1)+x>=2√2