Question

（1）分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积表示S1、S2、S3，那么他们之间的关

系？
（2）分别以直角三角形ABC三边向外作三个正三角形，其面积表示S1、S2、S3，那么他们之间的关系？并证明
（3）四边形ABCD的对角线互相垂直，现已四边形的边长向外作四个正方形，面积分别为S1 S2 S3 S4则他们之间的关系

Answer 1

（1）S1=S2+S3．证明如下：

设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c^2=a^2+b^2
S1 = 1/8 * πc^2

S2 + S3 =  1/8 * π * a^2 +  1/8 * π * b^2 = 1/8 * π * (a^2+b^2) =  1/8 * π * c^2 = S1

所以关系为 S1 = S2 + S3

（2）S1=S2+S3．证明如下：

类似（1）有，c^2=a^2+b^2

S1 = √3/4 * c^2，

S2 + S3 =   √3/4 * a^2 +  √3/4 * b^2 =  √3/4 *  (a^2+b^2) =  √3/4 * c^2 = S1

所以关系为 S1=S2+S3．

（3）S1 + S2 = S3 + S4

现以四边形的对角线的长向外作正方形，并设为S5（图中黑色粗线正方形）

利用（1）的结论，知道S1 + S2 = S5，S3 + S4 = S5

所以S1 + S2 = S3 + S4