Question

若不等式mx²-2x+1-m<0对满足-2≤m≤2的所有m都成立,求x的取值

Answer 1

答：
mx²-2x+1-m<=0对于-2<=m<=2都成立
(x²-1)m+1-2x<=0
1）当x=-1时：0+1+2<=0不成立
2）当x=1时：0+1-2=-1<=0成立
3）当-1<x<1时：斜率x²-1<0，直线y=(x²-1)m+1-2x是单调递减函数，m=-2时取得最大值：
y(m)<=y(-2)=-2x²+2+1-2x<0
2x²+2x-3>0：x<-(1+√7)/2<-1或者x>(√7-1)/2
所以：(√7-1)/2<x<1
4）当x<-1或者x>1时：斜率x²-1>0，直线y=(x²-1)m+1-2x是单调递增函数，m=2时取得最大值：
y(m)<=y(2)=2x²-2+1-2x<0
2x²-2x-1<0：(1-√3)/2<x<(√3+1)/2
所以：1<x<(√3+1)/2
综上所述，(√7-1)/2<x<(√3+1)/2