Question

设椭圆C： (a＞b＞0)的 右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线

设椭圆C： (a＞b＞0)的
右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾
斜角为60°,
(1)求椭圆C的离心率；

这道题，我这样：x=（x1+x2）/3=c

设直线方程为y=根号3*x-根号3*c
然后x1+x2的和除以3=2a*a*c/（3aa+bb）=c
然后aa+bb=0了！！为什么？

题目为2010辽宁高考题

Answer 1

解：设A、B、F的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(c,0)，分别用AF、FB表示向量AF和向量FB，则AF=(c-x1,-y1), FB=(x2-c, y2)，因AF=2FB，所以c-x1=2x2-2c, -y1=2y2，L过F且倾角60°，所以其方程为x=y/√3 c，代入椭圆方程并整理(1/3*1/a^2 1/b^2)*y^2 2/√3*c/a^2y c^2/a^2-1=0，由韦达定理知y1 y2=-y2=-2/√3*c/a^2/(1/3*1/a^2 1/b^2)，y1*y2=-2y2^2=(c^2/a^2-1)/(1/3*1/a^2 1/b^2)，则2y2=y1*y2/(y1 y2)=(1-c^2/a^2)/(2/√3*c/a^2)=-2(y1 y2)=4/√3*c/a^2/(1/3*1/a^2 1/b^2)，所以8c^2/(3a^4)=(1-c^2/a^2)(1/3/a^2 1/b^2)，即8e^2/(3a^2)=(1-e^2)/(3a^2) 1/a^2，解之得e=2/3(舍去负值)，故椭圆C的离心率为2/3。
(2) 由|AB|=15/4得|FB|=5/4，所以y2=5/4*(√3/2)=5√3/8，则x2=5/8 c，所以(5/8 c)^2/a^2 (75/64)/b^2=1，解之得a=3,(舍去负值)，则c=2, b=√5，则椭圆C的方程为x^2/9 y^2/5=1。