Question

已知函数f(x)=(根号(a^2-x^2))/(绝对值(x+a)-a),

写出函数f(x)=（根号下a^2-x^2)/(|x+a|+a)为奇函数的充要条件

Answer 1

f(x)=(√(a²-x²))/(|x+a|+a)
=>f(-x)=(√(a²-x²))/(|-x+a|+a)
f(x)是奇函数<=>对任意x，有f(x)=-f(-x)
<=>(√(a²-x²))/(|x+a|+a)=(√(a²-x²))/(|-x+a|+a)
<=>|x+a|+a=|-x+a|+a
<=>|x+a|=|-x+a|
<=>a=0
即f(x)为奇函数的充要条件是a=0

Answer 2

首先考虑根号下定义域x∈[-a,a](a＞0)或[a,-a](a＜0).....由f(-x)+f(x)=0得|x+a|+a+|x-a|+a=0(←需要移项通分)a＞0时去绝对值得4a=0舍。。。a＜0时去绝对值得0=0成立。另a=0时定义域为空集，舍。综上a＜0。注意使f(-x)+f(x)=0时与x取任意定义域内值无关