Question

各项都为正数的数列an，满足a1=1，a(n+1)^2-an^2=2,数列{an的平方/2^n}的前n项和sn

Answer 1

解：
a(n+1)²-an²=2
a1²=1²=1，数列{an²}是以1为首项，2为公差的等差数列。
an²=1+2(n-1)=2n-1
an²/2ⁿ=(2n-1)/2ⁿ=n/2^(n-1) -1/2ⁿ
Sn=a1²/2+a2²/2²+...+an²/2ⁿ=[1/1+2/2+3/2²+...+n/2^(n-1)]-(1/2+1/2²+...+1/2ⁿ)
=1+1/2+2/2²+3/2³+...+(n-1)/2^(n-1) -1/2ⁿ
令Cn=1/2+2/2²+3/2³+...+(n-1)/2^(n-1)
则Cn/2=1/2²+2/2³+...+(n-2)/2^(n-1)+(n-1)/2ⁿ
Cn-Cn/2=Cn/2=1/2+1/2²+...+1/2^(n-1) -(n-1)/2ⁿ
=(1/2)[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2) -(n-1)/2ⁿ
=1-(n+1)/2ⁿ
Cn=2 -(2n+2)/2ⁿ
Sn=1+Cn -1/2ⁿ=1+2-(2n+2)/2ⁿ-1/2ⁿ=3- (2n+3)/2ⁿ

Answer 2

由a(n+1)^2-an^2=2可得an^2为d=2的等差数列。所以an^2=a1^2+（n-1）2=2n-1.
因此Sn=（2×1-1）/2^1+(2×2-1）/2^2+……+（2n-1）/2^n
=2/2^1+2×2/2^2+……+2n/2^n-（2^(-1)+2^(-2)+……+2^（-n）) 2/2^1+2×2/2^2+……+2n/2^n可看做Tn，2^(-1)+2^(-2)+……+2^（-n）可看作Bn 用Tn-1/2Tn可求出Tn=4Bn-2n/2^n，Bn=1-1/2^n。
所以Sn=4Bn-2n/2^n-Bn=3Bn-2n/2^n=3-（3+2n）/2^n。