Question

高中数学三角函数题，求解

已知向量m=(sin(A-B),sin(π/2-A))，n=(1,2sinB),且mn=-sin2C，其中A，B，C分别为△ABC的三边a,b,c所对应的角。
(1)求角C的大小
(2)若sinA+sinB=3/2sinC，且S△ABC=√3，求边c的长。

Answer 1

1、在△ABC中
∵ mn=sin(A-B)+sin(π/2-A)*2sinB
=sin(A-B)+cosA*2sinB
=sinAcosB-sinBcosA+2sinBcosA
=sinAcosB+sinBcosA
=sin(A+B)
=sinC
又∵mn=-sin2C
∴sinC=-sin2C=-2sinCcosC
即cosC=-1/2
∴C=2π/3

2、∵S△ABC=1/2*absinC=√3/4*ab=√3
∴ab=4
又∵sinA+sinB=3/2sinC
∴根据正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC有：
a+b=3c/2
又∵根据余弦定理：
cosC=(a²+b²-c²)/2ab
=[(a+b)²-2ab-c²]/2ab
=(9c²/4-8-c²)/8
=5c²/32-1
=-1/2
即5c²/32=1/2
c²=16/5
解得：c=4√5/5

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Answer 2

（1）mn=sin(A-B)+2sinBsin(π/2-A)=sinAcosB-sinBcosA+2sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sin2C;
∴A+B=2C;
∵A+B+C=π;
∴C=60°
(2)sinA+sinB=(3/2)sinC=3√3/4;
∵a/sinA=b/sinB=c/sinC;
∴sinA=asinC/c;sinB=bsinC/c;
∴(asinC/c+bsinC/c)=(3/2)sinC;
∴a+b=3c/2;
∵SΔABC=(1/2)×sinC×a×b=(√3/4)×ab=√3;
∴ab=4;
∵cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=(9c²/4-8-c²)/(8)=1/2;
∴5c²/4-8=4;
5c²/4=12;
c²=48/5;
∴c=4√3/√5=4√15/5;

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Answer 3

解: 向量m.n=sin(A-B)*1+cosA*2sinB=-sin2C.
sinAcosB-cosAsinB+2cosAsinB=-sin2C.
sinAcosB+cosAsinB=-sin2C.
sin(A+B)=-sin2C.
sinC=-2sinCcosC.
cosC=-1/2.
(1). ∴ C=120°.
(2)若sinA+sinB=(3/2)sinC,
则,sinA+sinB=(3/2)sin120°
=3√3.
2sin(A+B)/2*cos(A-B)/2=3√3.
2cosC/2*cos(A-B)/2=3√3.
cos(A-B)=3√3>1. 这是不可能的.因|cosx| ≤1. 故原题有误.

Answer 4

(1)mn=sin(A-B)+2sin(π/2-A) *sinB= sinAcosB-cosAsinB+2cosA *sinB
= sinAcosB+cosA *sinB=sin(A+B)=sin(180°-C)=sinC =-sin2C=-2sinC*cosC
则cosC=-1/2,
C=120°
（2）sinA+sinB=3/2sinC，sinA/ sinC +sinB/ sinC =a/c+b/c=3/2，a+b=3/2*c,
S△ABC=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√3/2=√3,则ab=4
c^2=a^2+b^2-2ab*cosC= a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab=9/4*c^2-12,
5/4*c^2=12,
c^2=48/5,
c=4√3/√5

Answer 5

mn=sin(A-B)×1+sin（π/2-A）×2sinB
=sinAcosB-cosAsinB+2cosAsinB
=sinAcosB+cosAsinB
=sin（A+B）
=sinC
=-sin2C
那么sinC=-2sinCcosC
cosC=-1/2
C=120°