Question

一个高中数列题！

已知数列{an}无零项，且满足an平方加4等于an乘以a（n+1），a1=4，设bn=lg（an+2/an-2）。cn等于an-2。
（1）证明bn为等比数列
（2）求｛an｝
（3）若cn的前n项和为Sn，求证S你小于3
求解答
（3）若cn的前n项和为Sn，求证Sn小于3

Answer 1

解：
1.an^2+4=2an*a(n+1)
a(n+1)=(an²+4)/(2an)
a(n+1)+2=(an²+4an+4)/(2an)=(an +2)²/(2an) (1)
a(n+1)-2=(an²-4an+4)/(2an)=(an-2)²/(2an) (2)
(1)/(2)
[a(n+1)+2]/[a(n+1)-2]=[(an +2)/(an -2)]²
lg{[a(n+1)+2]/[a(n+1)-2]}=lg[(an +2)/(an -2)]²=2lg[(an +2)/(an -2)]
lg{[a(n+1)+2]/[a(n+1)-2]}/lg[(an +2)/(an -2)]=2，为定值。
bn=lg[(an +2)/(an -2)]
b(n+1)/bn=2，为定值。
b1=lg[(a1+2)/(a1-2)]=lg[(4+2)/(4-2)]=lg3
数列{bn}是以lg3为首项，2为公比的等比数列。
2.
lg[(an+2)/(an -2)]=(lg3)×2^(n-1)=lg3^[2^(n-1)]
(an +2)/(an -2)=3^[2^(n-1)]
an +2=3^[2^(n-1)]×an -2×3^[2^(n-1)]
{3^[2^(n-1) -1]an=2×{3^[2^(n-1)] +1}
an=2×{3^[2^(n-1)]+1}/{3^[2^(n-1)] -1}
n=1时，a1=2×(3+1)/(3-1)=2×4/2=4，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2×{3^[2^(n-1)]+1}/{3^[2^(n-1)] -1}。

追问

还没完呢……