Question

已知数列{ bn } 满足b(n+1)=1/2 bn + 1/4 , 且b1= 7/2，Tn为{bn}的前n项和 1）求证：

已知数列{ bn } 满足b(n+1)=1/2 bn + 1/4 , 且b1= 7/2，Tn为{bn}的前n项和
1）求证：数列｛bn-1/2｝是等比数列，并求｛bn｝的通项公式
2）如果对任意n∈N*，不等式12K/12+n-2T大于等于2n-7恒成立，求实数K的取值范围。

因为bn+1=1/2bn+1/4
所以bn+1-1/2=1/2bn-1/4
(bn+1-1/2)/(bn-1/2)=1/2
所以｛bn-1/2｝是等比数列,公比为1/2
所以bn-1/2=（b1-1/2）（1/2)^(n-1)
所以bn-1/2=3(1/2）^(n-1)
bn=3(1/2)^(n-1)+1/2
2.12K/（12+n-2Tn）>=2n-7
Tn=3+1/2+3（1/2)^1+1/2+.......3(1/2)^(n-1)+1/2=n/2+6-6*(1/2)^n

然后请用求导解决

Answer 1

第一个问设bn+n为等比数列，则b（n+1）+n=1/2bn+1/4解方程得n=-1/2
第二个问先求cn=bn-1/2的前n项和Sn=6-6/2^n
Tn=Sn+1/2n=6-6/2^n+1/2n
整理原式得k>=2n-7/2^n
至此，此题只需求y=2n-7/2^n的最大值
接下来求导
y导=2-（2n-7）ln2/2^n
根据导函数判断单调性
当y导=0时取极值，即n=1/ln2+7/2>5注意n为正整数
分别计算当n=5，n=6时的y值
解得当n=5时y最大为3/32
所以k>=3/32

Answer 2

在求出Tn后，原不等式化为K2^n>=2n-7恒成立即(2n-7)/2^n<=K恒成立设an=(2n-7)/2^n，当n>=2时a(n-1)=(2n-9)/2^(n-1)an-a(n-1)=(11-2n)/2^n当n=5时，a5-a4>0当n=6时，a6-a5<0所以数列an的最大值为a5=3/32即(2n-7)/2^n<=3/32，那么当K>=3/32时，原不等式恒成立

Answer 3

楼上的答案错了 当n=5时,an的确取到最大,但是代入应该得3/16,