Question

高中数学导数零点题 详细讲解下哦

Answer 1

已知函数f(x)=(ax^2+x-1)e^x（a∈R）
(1)若a=1，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线；
(2)若a<0，求f(x)的单调区间；
(3)若a=-1，函数f(x)的图像与函数g(x)=1/3x^3+1/2x^2+m的图像有3个不同的交点，求实数m的取值范围。
（1）解析：∵函数f(x)=(x^2+x-1)e^x，∴f(1)=e
f’(x)=(x^2+3x)e^x==>f’(1)=4e
∴曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线为y-e=4e(x-1)==>y=4ex-3e；

(2)解析：∵函数f(x)=(ax^2+x-1)e^x（a<0）
令f’(x)=(ax^2+(2a+1)x)e^x=x(ax+2a+1)e^x=0
==>x1=-(2a+1)/a，x2=0
f’’(x)=(2ax+2a+1)e^x+(ax^2+(2a+1)x)e^x=(ax^2+(4a+1)x+2a+1)e^x
f’’(x1)=-(2a+1)e^[-(2a+1)/a]
f’’(x2)=(2a+1)e^[-(2a+1)/a]
当a<-1/2时，f’’(x1)>0，f(x)在x1处取极小值；f’’(x2)<0，f(x)在x2处取极大值；
X∈(-∞, -(2a+1)/a]或x∈[0,+∞)时，f(x)单调减；x∈[-(2a+1)/a,0]时，f(x)单调增；
当a=-1/2时，f’(x)<0，f(x)在定义域内单调减；
当-1/2<a<0时，f’’(x1)<0，f(x)在x1处取极大值；f’’(x2)>0，f(x)在x2处取极小值；
X∈(-∞, 0]或x∈[-(2a+1)/a,+∞)时，f(x)单调减；x∈[0,-(2a+1)/a]时，f(x)单调增；

(3)解析：∵f(x)=(-x^2+x-1)e^x，g(x)=1/3x^3+1/2x^2+m二图像有3个不同的交点，
由（2）可知f(x)在x=-(2a+1)/a=-1处取极小值f(-1)=-3/e；f(x)在x=0处取极大值f(0)=-1；
令g’(x)=x^2+x=0==>x1=-1，x2=0
g’’(x)=2x+1==> g’’(x1)=-1<0，∴g(x)在x1处取极大值g(-1)=1/6+m；g(x)在x2处取极小值g(0)=m；
要使二图像有3个不同的交点，只要m<-1且1/6+m>-3/e==>m>-3/e-1/6
∴-3/e-1/6<m<-1