Question

已知奇函数f(x)在x≥0是时,f(x)=x2-4x,则使f(x-2)>-3成立的x的取值范围是

求解

Answer 1

解当x＜0时，
得-x＞0
又由x≥0是时,f(x)=x2-4x
故f（-x）=（-x）^2-4(-x）
又由f（-x）=-f（x）
即-f（x）=x^2+4x
即f（x）=-x^2-4x
故当x＜0时，f（x）=-x^2-4x，
故当x≥0时，由f(x)=x2-4x＞-3
即x^2-4x+3＞0
即（x-1）（x-3）＞0
即解得x＞3或0≤x＜1
当x＜0时，f（x）=-x^2-4x＞-3
即x^2+4x-3＜0
即解得-2-√7＜x＜0
又由f（x）＞-3的解为x＞3或2-√7＜x＜1
故f（x-2）＞-3的解为x＞5或4-√7＜x＜3.

Answer 2

由题，x>0时，f(1)=-3,由于对称轴为2，函数在0到1递减 所以令
X-2<1,且x-2>=0.解得x大于等于2且小于3
X<0,f(x)=-x^2-4x,令fx等于-3，x=-2-根号7
所以令x-2>-2-根号7且x-2<0

最后取并集即可

Answer 3

因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)
当x>=0时，f(x)=x^2-4x,所以当x<=0时，f(x)=-x^2-4x
若使f(x-2)>-3，则当x-2>=0时，即x>=2
(x-2)^2-4(x-2)>-3
解得x>5或x<3
所以想x>5或2<=x<3
当x-2<0时，即x<2
-(x-2)^2-4(x-2)>-3
解得负根7<x<根7
所以负根7<x<2
综上x>5或负根7<x<3

Answer 4

在x<0时，
f(x)=-f(-x)=-x^2-4x
f(x-2)=x^2-8x+12 x>=2
=-x^2+4 x<2
最终解得：
-根号7<x-2<3或x-2>5
即-根号7+2<x<5或x>7