Question

如图,已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(1,0),且经过点(0,1)

如图,已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(1,0),且经过点(0,1)
（1）求改抛物线的对应函数关系式（2）将该抛物线向下平移m个单位，设得到的抛物线顶点为A，与x轴交点为B，C若三角形ABC为等边三角形
求m的值，设点A关于x轴的对称点为D，在抛物线上是否存在点P，使点CBDP组成的四边形为菱形，若果有，请求出坐标

Answer 1

(1)y=ax²+bx+c,所以:y=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a

顶点为(1,0),所以：

-b/2a=1

4ac-b²=0

且经过点(0,1),所以：

1=a×0²+b×0+c

以上三个方程联立求解，得：

a=1，b=-2，C=1

答案：该抛物线的对应函数关系式：y=x²-2x+1或y=(x-1)²

（2）将该抛物线向下平移m个单位后的函数表达式为：y=(x-1)²-m（m>0）

①当x=1时，y=-m，即点A坐标为（1，-m）。即AQ=-m

②y=(x-1)²-m与x轴的交点为：0=(x-1)²-m，解得：

x=1+√m 或 x=1-√m，所以：B（1-√m，0），C（1+√m，0）

所以：QC=√m

在正三角形ABC中,AQ=√3PC=√3√m=√3m

③由上面两个结论，得：

-m=√3m

解得：m=0(舍去)或m=3

答案：m=3.

(3)由（2）可知，抛物线方程为：y=(x-1)²-m，m=3,所以

y=(x-1)²-3,所以，y=x²-2x-2

把m=3带入，得出：B（1-√3，0），C（1+√3，0）

A（1，-3），D与A关于x轴对称，所以D（1，3）。

设P（x，y)

CBDP为菱形，必须PC=PD=BC=1+√3-(1-√3)=2√3

所以：PC²=PD²=12

所以：PC²=(x-1-√3)²+(y-0)²=12

           PD²=(x-1)²+(y-3)²=12

           y=x²-2x-2

上面三个方程联立求解，无解！（自己去计算吧）

所以，不存在。

Answer 2

(1)易知y=x²-2x+1(若此问你不会，下面的就没必要了解）
（2）由对称性及等边三角形性质，可知此时三角形ABC的高为m，
故三角形ABC边长为BC=2根号3/3*m *******
函数向下平移m单位，方程为
y=x²-2x+1-m
令y=0解得
x=1+根号m
或x=1-根号m
故BC=2根号m
联立*******式解得
m=3

设点A关于x轴的对称点为D，在抛物线上是否存在点P，使点CBDP组成的四边形为菱形，若果有，请求出坐标

此问不明确，如果是在（2）问的基础上，那么易知点（1，3）为所求P点，若不是在（2）基础，应明述！