设A是m*n阶矩阵,B为n*k阶矩阵,若AB=0,证明r(A)+r(B)<=n
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证明：
设B=(β1, β2,...,βs), 则
AB=A(β1, β2,...,βs)=(Aβ1, Aβ2,...,Aβs)=0
∴Aβ(i)=0, (i=1,2,...,s)
即β1, β2,...,βs是线性方程组AX=0的解
又线性方程组AX=0的基础解系所含的向量个数是n-r(A)
∴r(B)=r(β1, β2,...,βs)≤n-r(A)
∴r(A)+r(B)<=n
设B=(β1, β2,...,βs), 则
AB=A(β1, β2,...,βs)=(Aβ1, Aβ2,...,Aβs)=0
∴Aβ(i)=0, (i=1,2,...,s)
即β1, β2,...,βs是线性方程组AX=0的解
又线性方程组AX=0的基础解系所含的向量个数是n-r(A)
∴r(B)=r(β1, β2,...,βs)≤n-r(A)
∴r(A)+r(B)<=n
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