Question

设函数f（x）=2x的3次方+3ax的平方+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.

（1）求a、b的值；；（2）若对于任意的x属于［0,3］,都有f（x）<c的平方成立，求c的取值范围.

Answer 1

解：（1）f′（x）=6x 2 +6ax+3b 据题意f′（x）=0的两根分别为x=1 、x=2 于是有 -6a／6=1+2 3b／6=1×2 解得a=-3 b=4 （2）由（1）得f（x）=2x 3 —9x 2 +12x+8c f（x）﹤c 2 在区间【0，3】上恒成立 整理不等式得2x 3 —9x 2 +12x+8c—c 2 ﹤0 令函数g（x）=2x 3 —9x 2 +12x+8c—c 2 g′（x）=6x 2 —18x+12 所以可知g（x）单调性为（-∞，1）↑ （1，2）↓ （2，+∞）↑ 通过图像易知函数g（x）在区间【0，3】上的最大值不是g（1）就是g（3） 反正就这两个数 要使g（x）在【0，3】上恒小于零 只要g（1）﹤0且g（3）﹤0其他的就肯定小于零 解得c﹥9或c﹤-1