Question

已知数列{an}的前n项和是Sn,且2Sn+an=1,n属于正整数。

（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）记bn=10+log9an,求{bn}的前n项和Tn的最大值及相应的n值.

Answer 1

2Sn+an=1,An=1-2Sn An-1=1-2Sn-1 =1-2(Sn-An) =1-2Sn+2An =An+2An=3An所以 An/An-1=1/3 所以数列{An}是等比数列，公比为1/3 由上面知道A1=S1=1/3所以An=(1/3)^nTn=B1+B2+。。。+Bn=10*n+log9A1+log9A2+。。。+log9An=10n+log9(A1*A2*....An)=10n+log9(1/3)^(1+2+....n)=10n+log9(1/9)^[(n*n+1)]=10n-n(n+1)=-n^2+9n=-(n-4.5)^2+20.25由于n为正整数，所以当n=5或者4时，Tn有最大值Tn=20

Answer 2

2Sn+an=1,An=1-2Sn
An-1=1-2Sn-1
=1-2(Sn-An) =1-2Sn+2An =An+2An=3An所以
An/An-1=1/3
所以数列{An}是等比数列，公比为1/3