已知a,b,c为正数,abc(a+b+c)=1. (1)求S=(a+b)(b+c)的最小值 (2)当S最小时，求c的最大值
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2013-05-23 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
知道合伙人教育行家
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识，尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖，期望能为你答疑
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解：
（1）
(a+c)(b+c)
=ab+ac+bc+c²
=ab+c(a+b+c)
=ab+1/(ab)
≥2√[ab*1/(ab)]=2
当且仅当ab=1/ab时等号成立
所以S=(a+b)(b+c)的最小值为2
（2）
ab=1/ab得ab=1，b=1/a
代入abc(a+b+c)=1得c(a+b+c)=1
c(a+b)+c²=1
c²+（a+1/a)c-1=0
根据求根公式得
c=[-(a+1/a)+√(a+1/a)²+4]/2
设a+1/a=t≥2则
c=[√(t²+4)-t]/2
c=2/[√(t²+4)+t]
可见，分母中t越大，则c越小
所以去t=a+1/a=2时c得到最大值
最大值为c=√2-1
（1）
(a+c)(b+c)
=ab+ac+bc+c²
=ab+c(a+b+c)
=ab+1/(ab)
≥2√[ab*1/(ab)]=2
当且仅当ab=1/ab时等号成立
所以S=(a+b)(b+c)的最小值为2
（2）
ab=1/ab得ab=1，b=1/a
代入abc(a+b+c)=1得c(a+b+c)=1
c(a+b)+c²=1
c²+（a+1/a)c-1=0
根据求根公式得
c=[-(a+1/a)+√(a+1/a)²+4]/2
设a+1/a=t≥2则
c=[√(t²+4)-t]/2
c=2/[√(t²+4)+t]
可见，分母中t越大，则c越小
所以去t=a+1/a=2时c得到最大值
最大值为c=√2-1
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