Question

如图AP，CP分别是三角形ABC的外角，角MAC与角NCA的平分线，它们相交于点P，PD垂直BM，

如图AP，CP分别是三角形ABC的外角，角MAC与角NCA的平分线，它们相交于点P，PD垂直BM，PE垂直BN，垂足分别为D，E，连一接BP。求证：BP平分角MBN

Answer 1

证明:作PF垂直AC于F.

∵PA平分∠DAC.(已知)

∴PD=PF.(角平分线的性质)

同理可证:PE=PF.

∴PD=PE.(等量代换)

∴PB平分∠MBN.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)

追问

还有别的做法吗？这个没有学过

追答

"角平分线的性质和判定"若没有学过,可以利用"三角形全等".
证明:作PF垂直AC于F.
∵∠PAD=∠PAF(已知),∠PDA=∠PFA=90°,PA=PA.
∴⊿PAD≌⊿PAF(AAS),PD=PF.
同理可证:⊿PCE≌⊿PCF,PE=PF.
∴PD=PE.(等量代换)
∵PD=PE,PB=PB.
∴Rt⊿PBD≌Rt⊿PBE(HL),∠PBD=∠PBE.
故:BP平分∠MBN。