Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE的最小值是（　　

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5

Answer 1

在平行四边形ADCE中，对角线AC=5（根据勾股定理可得），DC的取值范围为0至4，并且DE的长度随DC由0至2之间由小至大变化而减小，随DC由2至4之间由小至大变化而逐渐增大，所以当DC=2时，DE的值最小。DE的最小值为2。

Answer 2

DE=2OD,即是求OD的最小值
当OD垂直于BC时OD最小，且为1.5
所以DE最小值为3

Answer 3

解：连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
∴△CFO≌△AOE（AAS），
∴AO=CO，
∵AC==4，
∴AO=AC=2，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE=5．
故答案为5．

Answer 4

DE=2DO
由余弦定理：DO²=CO²+CD²-2CO*CD*cosDCO
CO=AC/2=5/2；cosDCO=4/5
所以DO²=CD²-4CD+25/4；0≤CD≤4
当CD=2时，DO²取最小值9/4
所以DE最小值为2*DO=3

Answer 5

应该选B
DE最小值为OD垂直于BC时，
连接OB，因为点O是AC中点，所以BO=CO，所以三角形COB是等腰三角形，
因为OD垂直于BC，等腰三角形三线和一，所以点D为OD中点，
所以OD为三角形ABC的中位线,2OD=AB,所以OD=1.5，
因为2OD=DE,所以DE=3