Question

已知（3x+x2）2n的展开式的二项式系数和比（3x-1）n的展开式的二项式系数和大992．求（2x-1x）10的展开式

已知（3x+x2）2n的展开式的二项式系数和比（3x-1）n的展开式的二项式系数和大992．求（2x-1x）10的展开式中，（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．

Answer 1

（1）由题意可得 2²ⁿ=2ⁿ+992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，∴2ⁿ=32，n=5．
由于（2x-

1

x

）¹⁰的展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，由通项公式可得该项为 T₆=

C

5 10

?（-1）⁵?2⁵=-8064．
（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，∵T_r+1=

C

r 10

?（-1）^r?2^10-r?x^10-2r，∴

C r 10 ?210?r ≥C r+1 10 ?29?r C r 10 ?211?r ≥C r?1 10 ?211?r

，
求得

8

3

≤r≤

11

3

，∴r=3，故第4项的系数的绝对值最大，该项为T₄=

C

3 10

?2⁷?x⁴=-15360x⁴．