Question

设 和 是函数 的两个极值点，其中 ， ．（1）求 的取值范围；（2）若 ，求 的最大值．注：e是自

设 和 是函数 的两个极值点，其中 ， ．（1）求 的取值范围；（2）若 ，求 的最大值．注：e是自然对数的底．

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Answer 1

（1）  ；2） ．

试题分析：（1）先判断函数的定义域，再求函数的导函数，根据极值点为导数为0时的根，找出函数中所含未知数的范围和两个极值点与 的关系，再求 的取值范围；（2）先设 ，再化简已知不等式，用 表示出来，然后就计算 得出关于 的表达式，再构造新函数，利用导数求新函数的单调性，可知新函数的最值，即为所求． 试题解析：(1)解：函数 的定义域为 ， ． 依题意，方程 有两个不等的正根 ， （其中 ）．故 ， 并且                     ． 所以， 故 的取值范围是 ．                              7分 (2)解当 时， ．若设 ，则 ． 于是有   构造函数 （其中 ），则 ． 所以 在 上单调递减， ． 故 的最大值是 ．                         15分