Question

已知锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（2c-b）cosA=acosB．（1）求角A的值（2）若a=3，

已知锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（2c-b）cosA=acosB．（1）求角A的值（2）若a=3，则求b+c的取值范围．

Answer 1

（1）由（2c-b）cosA=acosB及正弦定理得（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
得2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），
∵A+B+C=π，
∴sin（A+B）=sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
∵A为三角形的内角，
∴A=

π

3

．
（2）由正弦定理

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

=2，
∴b+c=2（sinB+sinC）=2（sinB+sin（

2π

3

?B））=2

3

sin(B+

π

6

)，
∵

0＜B＜ π 2 0＜ 2π 3 ?B＜ π 2

∴

π

6

＜B＜

π

2

?

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

∴b+c∈(3，2

3

]．