Question

如图，在△ABC中，已知D是BC边的中点，过点D的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AC的延长

如图，在△ABC中，已知D是BC边的中点，过点D的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AC的延长线于点E，联结EG．（1）说明BG与CF相等的理由．（2）说明∠BGD与∠DGE相等的理由．

Answer 1

解 （1）∵D为BC中点，
∴BD=DC（中点的定义），
∵BG∥FC（已知），
∴∠GBD=∠DCF（两直线平行，内错角相等），
在△BDG和△CDF中，

∠BDG＝∠CDF(对顶角相等) BD＝DC(已证) ∠GBD＝∠DCF(已证)

，
∴△BDG≌△CDF（ASA），
∴BG=CF（全等三角形对应边相等）；

（2）∵DE为线段GF的中垂线（中垂线定义），
∴EF=EG（中垂线性质），
∴∠DFE=∠DGE（等边对等角），）
∵∠DFE=∠BGD（全等三角形对应角相等），
∴∠BGD=∠DGE（等量代换）．