已知函数f(x)=ex-ax(a∈R).(Ⅰ) 写出函数y=f(x)的图象恒过的定点坐标;(Ⅱ)直线L为函数y=φ(

已知函数f(x)=ex-ax(a∈R).(Ⅰ)写出函数y=f(x)的图象恒过的定点坐标;(Ⅱ)直线L为函数y=φ(x)的图象上任意一点P(x0,y0)处的切线(P为切点)... 已知函数f(x)=ex-ax(a∈R).(Ⅰ) 写出函数y=f(x)的图象恒过的定点坐标;(Ⅱ)直线L为函数y=φ(x)的图象上任意一点P(x0,y0)处的切线(P为切点),如果函数y=φ(x)图象上所有的点(点P除外)总在直线L的同侧,则称函数y=φ(x)为“单侧函数”.(i)当a=12判断函数y=f(x)是否为“单侧函数”,若是,请加以证明,若不是,请说明理由.(i i)求证:当x∈(-2,+∞)时,ex+12x≥ln(12x+1)+1. 展开
 我来答
肆众呗8581
推荐于2016-11-30 · 超过64用户采纳过TA的回答
知道答主
回答量:133
采纳率:60%
帮助的人:61万
展开全部
(I)∵f(x)=ex-ax,
∴当x=0时,f(x)=e0-a×0=1
所以函数y=f(x)的图象恒过的定点为M(0,1).
(II)(i)对函数求导数,得f'(x)=ex-a,
当a=
1
2
时,f'(x)=ex-
1
2

所以函数y=f(x)图象在点P(x0,y0)处的切线斜率为k=f'(x0)=ex0-
1
2

可得切线L的方程为:y-y0=(ex0-
1
2
)(x-x0
∵y0=f(x0)=ex0-
1
2
x0
∴函数y=f(x)图象在点P(x0,y0)处的切线L的方程化简,
得:y-(ex0-
1
2
x0)=(ex0-
1
2
)(x-x0),即y=(ex0-
1
2
)x+ex0(1-x0
设y=g(x)=(ex0-
1
2
)x+ex0(1-x0),
再记F(x)=f(x)-g(x)=(ex-
1
2
x)-[(ex0-
1
2
)x+ex0(1-x0)]=ex-ex0?x+ex0?x0-ex0
对F(x)求导数,得F'(x)=ex-ex0
当x>x0时,F'(x)>0,得函数F(x)在区间(x0,+∞)为增函数;
当x<x0时,F'(x)<0,得函数F(x)在区间(-∞,x0)为减函数,
∴当x=x0时,F(x)有最小值F(x0)=0.即F(x)≥0对任意的x∈R,都有F(x0)≥0,
也就是f(x)≥g(x)对任意的x∈R都成立.
因此,函数f(x)图象上所有的点都位于切线L的上方,由此可得当a=
1
2
时,函数y=f(x)是“单侧函数”.
(ii)由(i)的证明可得ex+
1
2
x≥(ex0-
1
2
)x+ex0(1-x0),
取x0=0,得不等式ex+
1
2
x≥
1
2
x+1对任意x∈R都成立…①,
接下来证明
1
2
x+1≥ln(
1
2
x+1)+1在区间(-2,+∞)上恒成立:
记函数G(x)=(
1
2
x+1)-[ln(
1
2
x+1)+1]=
1
2
x-ln(
1
2
x+1),
对G(x)求导数,得G'(x)=
1
2
-
1
1
2
x+1
?
1
2
=
x
2(x+2)

∴当x>0时,G'(x)>0,得函数G(x)在区间(0,+∞)为增函数;
当-2<x<0时,F'(x)<0,得函数F(x)在区间(-2,0)为减函数,
可得当x=0时,G(x)有最小值G(0)=0,即G(x)≥0对任意的x∈(-2,+∞)都成立.
所以不等式
1
2
x+1≥ln(
1
2
x+1)+1在区间(-2,+∞)上恒成立…②,
对照①②可得ex+
1
2
x≥
1
2
x+1≥ln(
1
2
x+1)+1在区间(-2,+∞)上恒成立,
即当x∈(-2,+∞)时),ex+
1
2
x≥ln(
1
2
x+1)+1恒成立.
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式