Question

已知函数f（x）=xlnx，（x＞0，且x≠1）（Ⅰ）求函数r(x)＝1f(x)的单调区间；（Ⅱ）若对任意的n∈N+，都

已知函数f（x）=xlnx，（x＞0，且x≠1）（Ⅰ）求函数r(x)＝1f(x)的单调区间；（Ⅱ）若对任意的n∈N+，都有an＞0，且a1+a2+…+a2013=2013e（e为自然对数的底），求f（a1）+f（a2）+…+f（a2013）的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）r(x)＝

1

f(x)

＝

1

xlnx

，r′(x)＝?

1+lnx

(xlnx)2

，所以函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．
当x∈(0，

1

e

)时，r'（x）＞0．r（x）单调递增；当x∈(

1

e

，1)和x∈（1，+∞）时，r'（x）＜0，r（x）单调递减．
（Ⅱ）当a₁=a₂=…=a₂₀₁₃=e时，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₃）取得最小值2013e，
    下面给予证明：
   函数f（x）=xlnx在x=e处的切线方程为y=2x-e
  令g（x）=f（x）-（2x-e）=xlnx-2x+e，g'（x）=lnx-1，
  则函数y=g（x）在x∈（0，e）单调递减，在x∈（e，+∞）单调递增
  当x=e时，y=g（x）取得最小值为0，即f（x）≥2x-e恒成立．
  故f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₃）≥2（a₁+a₂+…+a₂₀₁₃）-2013e≥2013e
   当且仅当a₁=a₂=…=a₂₀₁₃=e取得最小值．此时f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₃）取得最小值2013e．