Question

如图，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点是F（1，0），0为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点

如图，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点是F（1，0），0为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）点M是直线l：x=4上的动点，以OM为直径的圆过点N，且NF⊥OM，是否存在一个定点，使得N到该定点的距离为定值？并说明理由．

Answer 1

解答：解：（Ⅰ）因为椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，且c=1，
所以

2 3

3

＝

1

3

×2b，解得b＝

3

．
∴a²=b²+c²=4．
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1；
（Ⅱ）存在定点O（原点），使得N到该定点的距离为定值，如图，
设N（x₀，y₀），则直线NF的斜率为kNF＝

y0

x0?1

，
直线ON的斜率为kON＝

y0

x0

∵NF⊥OM，∴直线OM的斜率为kOM＝?

x0?1

y0

，
∴直线OM的方程为y＝?

x0?1

y0

x，点M的坐标为M(4，?

4(x0?1)

y0

)．
∴直线MN的斜率为kMN＝

y0+ 4(x0?1) y0

x0?4

．
∵ON⊥MN，∴k_MN?k_ON=-1，∴

y0+ 4(x0?1) y0

x0?4

?

y0

x0

＝?1，
整理得x02+y02＝4．
∴存在定点O（原点），使得N到该定点的距离为定值，且该定值为2．