Question

已知椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角

已知椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l经过点F2，倾斜角为45°，与椭圆交于A,B两点。
（1）若|F1F2|=2√2，求椭圆方程
（2）对（1）中椭圆，求三角形ABF1的面积

Answer 1

（1）由|F1F2|=2√2，得c=√2，
长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，
∴a=b√3，a^=3b^,a^-b^=2b^=2,b^=1,a^=3,
∴椭圆方程是x^/3+y^=1.①
(2)F2(√2,0），AB:y=x-√2，代入①，
x^+3(x^-2x√2+2）=3，
4x^-6x√2+3=0，
△=72-48=24，
|AB|=√（2△）/4=√3，
F1(-√2,0）到AB的距离d=2√2/√2=2，
∴S△ABF1=(1/2)|AB|d=√3.