Question

急呀！！！已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的一个焦点是(1,0)两个焦点与短轴一个端点构成等边三角

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的一个焦点是(1,0)两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形，过点Q(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于AB两点,设点A关于x轴的对称点为A1
求证：直线A1B过x轴上一定点，并求此顶点坐标
（2）求△OA1B面积的取值范围
大家帮忙呀

Answer 1

(1) 这个题目要是死算估计又要算死人
可以利用相似形化简下
假设AA1交x轴于C,过B1做x轴垂线B1D,垂足为D,A1B交x轴于点P
首先求出椭圆方程
由题意得c=1
∵两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形
所以b=c*√3=√3
a=2
方程为x^2/4+y^2/3=1
设A(x1,y1)B(x2,y2),P(x3,0)
因为AA1关于x轴对称, 所以A1(x1,-y1)
AA1⊥x轴，且A1C=AC
CP/PD=A1C/DB=AC/DB=QC/QD
CP=x3-x1,PD=x2-x3
QC=4-x1,QD=4-x2
即（x3-x1)/(x2-x3)=(4-x1)/(4-x2)
解得 x3=[4(x1+x2)-2x1x2]/(8-x1-x2) (1)
设过QAB的直线为y=k(x-4)
代人椭圆方程x^2/4+y^2/3=1 得
3x^2+4k^2(x-4)^2-12=0
整理下得
(4k^2+3)x^2-32k^2x+64k^2-12=0
x1+x2=32k^2/(4k^2+3)
x1x2=(64k^2-12)/(4k^2+3)
代人（1）式得
x3=[128k^2/(4k^2+3)-2(64k^2-12)/(4k^2+3)]/(8-32k^2/(4k^2+3))
化简得
x3=24/24=1
即 P为顶点坐标是个定值，为（1,0）

（2）
S△OA1B=1/2*OP*（A1C+B1D)=1/2*1*|y1+y2|
直线y=k(x-4)
代入椭圆方程得
3（y+4k)^2+4k^2y^2-12k^2=0
整理下位(3+4k^2)y^2+24ky+36k^2=0 （2）
|y1+y2|=|24k/(3+4k^2)|
椭圆与方程有两个交点
所以要求(2)式有两个解⊿=(24k)^2-4*36k^2(4k^2+3)>=0
4-(4k^2+3)>=0
4k^2<=1
|k|<=1/2
S△OA1B=1/2|24k/(4k^2+3)|=|12k/(4K^2+3)|=12|k|/(4k^2+3)=12/(4|k|+3/|k|),在|k|属于[0,1/2]时单调递增
|k|=1/2 时，原式=6/(1+3)=3/2
∴0<S△OA1B<=3/2,等号成立时，AB重合，坐标为（1，+-3/2）