Question

已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．（1）求an及Sn；（2）设数列{1Sn}的前n项

已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．（1）求an及Sn；（2）设数列{1Sn}的前n项和为Tn，求证：当n∈N+都有Tn＞nn+1成立．

Answer 1

（1）∵{a_n}是首项a₁=1，公差d=2的等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
故Sn=1+3+…+(2n-1)=

n(a1+an)

2

=

n(1+2n-1)

2

=n2；
（2）由（1）得，Tn=

1

12

+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＞

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n×(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．