如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于D、E，且⊙O与直线
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于D、E，且⊙O与直线BD刚好相切．（1）试证：∠CBD=∠A；（2）若...
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于D、E，且⊙O与直线BD刚好相切．（1）试证：∠CBD=∠A；（2）若cosA=255，BD=25，试计算⊙O的面积．
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（1）证明：连OD，如图，
∴∠A=∠ADO，
∵直线BD与⊙O相切，
∴OD⊥BD，
∴∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠BDC=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBD=∠ADO，
∴∠CBD=∠A；
（2）连DE，cosA=cos∠CBD=
，
在Rt△DCB，cosA=
，BD=2
，
∴cos∠CBD=
，
∴BC=
×2
=4，
∴DC=
=2，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ABC中，设⊙O的半径为r，
∴cosA=
=
∴∠A=∠ADO，
∵直线BD与⊙O相切，
∴OD⊥BD，
∴∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠BDC=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBD=∠ADO，
∴∠CBD=∠A；
（2）连DE，cosA=cos∠CBD=
2
| ||
| 5 |
在Rt△DCB，cosA=
2
| ||
| 5 |
| 5 |
∴cos∠CBD=
| BC |
| DB |
∴BC=
2
| ||
| 5 |
| 5 |
∴DC=
| BD2?BC2 |
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ABC中，设⊙O的半径为r，
∴cosA=
| AD |
| AE |
2
|
