Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-3n，（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{an+3}为等比数列； （Ⅱ）记bn=6n

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-3n，（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{an+3}为等比数列； （Ⅱ）记bn=6n(6×2n?Sn)，求{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）令n=1，S₁=2a₁-3，∴a₁=3，
由S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，
两式相减，得a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
则a_n+1=2a_n+3，a_n+1+3=2（a_n+3），

an+1+3

an+3

＝2，
∴{a_n+3}为公比为2的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an+3＝(a1+3)?2n?1＝6?2n?1，
∴an＝6?2n?1?3，Sn＝

6(1?2n)

1?2

?3n＝6?2n?3n?6．
∴bn＝

6

n(6×2n?Sn)

＝

6

n(3n+6)

＝

2

n(n+2)

＝

1

n

?

1

n+2

，
∴Tn＝(1?

1

3

)+(

1

2

?

1

4

)+(

1

3

?

1

5

)+…+(

1

n

?

1

n+2

)＝1+

1

2

?

1

n+1

?

1

n+2

＝

3

2

?

1

n+1

?

1

n+2

＝

3n2+5n

2n2+6n+4

．