Question

为什么这道高数的答案是π/4？请给出详细的答案过程，我怎么也算到是π/2

Answer 1

∑的上侧的法向量n=(x,y,z)，所以dzdx=y/zdxdy，所以原积分=∫∫(∑)y^2dxdy=∫∫(D) y^2dxdy，D是x^2+y^2≤1，用极坐标计算得π/4。

或者还是选择对坐标z,x积分，则∑分为两部分，∑1：z=√(1-x^2-y^2)，y≥0，取右侧；∑2：z=√(1-x^2-y^2)，y≤0，取左侧。
所以，原积分=∫∫(∑1) yzdzdx+∫∫(∑2) yzdzdx=2∫∫(D) z*√(1-z^2-x^2)dzdx，D是x^2+z^2≤1，z≥0。还是用极坐标计算，得π/4。