Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC

如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S △MAP =2S △ACP ？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点， ∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）， ∵点C（0，3）， ∴-3a=3，解得a=-1， ∴抛物线的解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x 2 -2x+3； （2）∵抛物线的解析式为y=-x 2 -2x+3； ∴其对称轴x=-1，顶点P的坐标为（-1，4） ∵点M在抛物线的对称轴上， ∴设M（-1，m）， ∵A（1，0），P（-1，4）， ∴设过点A、P的直线解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴ k+b=0 -k+b=4 ，解得 k=-2 b=2 ， ∴直线AP的解析式为y=-2x+2， ∴E（0，2）， ∴S △ACP =S △ACE +S △PEC = 1 2 CE?1+ 1 2 CE?1= 1 2 ×1×1+ 1 2 ×1×1=1， ∵S △MAP =2S △ACP ， ∴ 1 2 MP×2=2，解得MP=2， 当点M在P点上方时，m-4=2，解得m=6， ∴此时M（-1，6）； 当点M在P点下方时，4-m=2，解得m=2， ∴此时M（-1，2）， 综上所述，M 1 （-1，6），M 2 （-1，2）．