Question

已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个

已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=-4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[-6，-2]上的两根为x 1 ，x 2 ，则x 1 +x 2 =-8．上述命题中所有正确命题的序号为______．

Answer 1

∵f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（-x）=f（x）， 可得f（-2）=f（2）， 在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=-2得 f（2）=f（-2）+f（2）， ∴f（-2）=f（2）=0， ∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示． 从图中可以得出： ②x=-4为函数y=f（x）图象的一条对称轴； ③函数y=f（x）在[8，10]单调递减； ④若方程f（x）=m在[-6，-2]上的两根为x 1 ，x 2 ，则x 1 +x 2 =-8． 故答案为：①②④．