Question

在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面

在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．

Answer 1

（1）令x=0，得y=b，b＞0； 令y=0，得 x=- b k ＞0，k＜0 ． 所以A，B两点的坐标分别为 A(- b k ，0)，B(0，b) ， 于是，△OAB的面积为 S= 1 2 b?(- b k ) ． 由题意，有 1 2 b?(- b k )=- b k +b+3 ， 解得 k= 2b- b 2 2(b+3) ，b＞2； （2）由（1）知 S= 1 2 b?(- b k )= b(b+3) b-2 = (b-2) 2 +7(b-2)+10 b-2 = b-2+ 10 b-2 +7=( b-2 - 10 b-2 ) 2 +7+2 10 ≥ 7+2 10 ， 当且仅当 b-2= 10 b-2 时，有 S=7+2 10 ， 即当 b=2+ 10 ，k=-1时，不等式中的等号成立． 所以，△OAB面积的最小值为 7+2 10 ．