Question

已知点P（2，0），及⊙C：x 2 +y 2 -6x+4y+4=0．（1）当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程

已知点P（2，0），及⊙C：x 2 +y 2 -6x+4y+4=0．（1）当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；（2）设过点P的直线与⊙C交于A、B两点，当|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程．

Answer 1

（1）由题意知，圆的标准方程为：（x-3） 2 +（y+2） 2 =9， ①设直线l的斜率为k（k存在） 则方程为y-0=k（x-2）即kx-y-2k=0 又⊙C的圆心为（3，-2），r=3， 由 |3k-2k+2| k 2 +1 =1?k=- 3 4 所以直线方程为 y=- 3 4 (x-2) 即3x+4y-6=0； ②当k不存在时，直线l的方程为x=2． 综上，直线l的方程为3x+4y-6=0或x=2； （2）由弦心距 d= r 2 - ( AB 2 ) 2 = 5 ，即|CP|= 5 ， 设直线l的方程为y-0=k（x-2）即kx-y-2k=0则圆心（3，-2）到直线l的距离d= |3k+2-2k| k 2 +1 = 5 ， 解得k= 1 2 ，所以直线l的方程为x-2y-2=0联立直线l与圆的方程得 x-2y-2=0 (x-3) 2 + (y+2) 2 =9 ， 消去x得5y2-4=0，则P的纵坐标为0，把y=0代入到直线l中得到x=2， 则线段AB的中点P坐标为（2，0），所求圆的半径为： 1 2 |AB|=2， 故以线段AB为直径的圆的方程为：（x-2） 2 +y 2 =4．