Question

如图1所示，E是矩形ABCD的CD边的中点，且AD=2，AB=4，连AE，将△ADE沿AE翻折（如图2），使平面ADE⊥平面A

如图1所示，E是矩形ABCD的CD边的中点，且AD=2，AB=4，连AE，将△ADE沿AE翻折（如图2），使平面ADE⊥平面ABCE，F是BD中点，连CF．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）求证：AD⊥平面DBE；（Ⅲ）求四棱锥D-ABCE的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取DA中点G，连GF，GE，则GF

∥

.

1

2

AB 又EC

∥

.

1

2

AB
∴GF

∥

.

EC∴四边形GFCE是平行四边形
∴GE∥FC   而GE?面ADE　且FC?面ADE∴CF∥平面ADE…（4分）
（Ⅱ）连EB，由题意知：AE=EB=2

2

，
AE²+EB²=4²=AB²，∴EB⊥AE
∵平面ADE⊥平面ABCE∴EB⊥平面ADE
∴EB⊥AD，而AD⊥DE，DE∩EB=E，∴AD⊥平面DBE…（8分）
（Ⅲ）取AE的中点H，∵AD=DE
∴DH⊥AE∵平面ADE⊥平面ABCE
∴DH⊥平面ABCE∴DH是锥 D-ABCE的锥高
而 DH=

2

，S_ABCE=

1

2

(2+4)×2＝6，
∴VD?ABCE＝

1

3

×6×

2

＝2

2

．…（12分）