Question

设Sn为等差数列{an}的前n项和，（n+1）Sn＜nSn+1（n∈N*）．若a8a7＜-1，则（　　）A．Sn的最大值为S8B．

设Sn为等差数列{an}的前n项和，（n+1）Sn＜nSn+1（n∈N*）．若a8a7＜-1，则（　　）A．Sn的最大值为S8B．Sn的最小值为S8C．Sn的最大值为S7D．Sn的最小值为S7

Answer 1

∵（n+1）S_n＜nS_n+1，
∴S_n＜nS_n+1-nS_n=na_n+1
即na₁+

n(n?1)d

2

＜na₁+nd，
整理得（n²-n）d＜2n²d
∵n²-n-2=-3n²-n＜0
∴d＞0
∵

a8

a7

＜-1＜0
∴a₇＜0，a₈＞0
数列的前7项为负，
故数列{S_n}中最小值是S₇
故选：C．

Answer 2

解：

∵（n+1）S[n]＜nS[n+1]，
∴Sn＜nS[n+1]-nS[n]=na[n+1]
即na[1]+n(n-1)d/2＜n（a[1]+nd），
整理得：
（n^2-n）d＜2dn^2
∴(n^2+n)d>0
显然n^2+n>0
∴d>0
又∵a[8]a[7]<-1
∴a[8]>0;a[7]<0
所以n≤7时，a[n]＜0
n≥8时，a[n]＞0
即结论为：S[n]有最小值，且最小值为S[7]