Question

已知递增的等比数列{an}的前n项和Sn满足：S4=S1+28，且a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项

已知递增的等比数列{an}的前n项和Sn满足：S4=S1+28，且a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=anlog 12an，Tn=b1+b2+…+bn，求使Tn+n?2n+1=30成立的正整数n的值．

Answer 1

（I）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵S₄=S₁+28，且a₁+2是a₂和a₄的等差中项．
∴

a1(q+q2+q3)＝28 a1(q+q3)＝2(a1q2+2)

，
解得

a1＝2 q＝2

，
即数列{a_n}的通项公式为a_n=2?2^n-1=2ⁿ…（6分）
（Ⅱ）b_n=a_nlog 

1

2

a_n，…（8分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）①
则2T_n=-（1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹）②
②-①，得T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n?2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n?2ⁿ⁺¹
即数列{b_n}的前项和T_n=2ⁿ⁺¹-2-n?2ⁿ⁺¹，
则T_n+n?2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2=30，
即2ⁿ⁺¹=32，
解得：n=4