Question

已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若S4=4S2，a2n=2an+1（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意m∈N*，

已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若S4=4S2，a2n=2an+1（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间（2m，2m+1）内的项的个数记为{bm}①求数列{bm}的通项公式；②记cm=222m?1?bm，数列{cm}的前m项和为Tm，求所有使得等式Tm?tTm+1?t=1ct+1的正整数m，t．

Answer 1

（1）∵等差数列{a_n}，其前n项和为S_n，若S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，
∴4a₁-2d=0，a₁=d-1，∴a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1
（2）∵a_n=2n-1，
∴2n-1＞2^m，2n-1＜2^2m，
∴2^m-1+

1

2

＜n＜2^2m-1+

1

2

，
即项数2^2m-1-2^m-1，
∴①bm＝22m?1?2m?1
∵c_m=

2

22m?1?bm

，
∴C_m=

2

2m?1

，
∴c₁=2，

Cn+1

Cn

=

1

2

，
∴{c_n}是等比数列，数列{c_m}的前m项和为T_m=

2(1?( 1 2 )m)

1? 1 2

即Tm＝4(1?

1

2m

)，
∵所有使得等式

Tm?t

Tm+1?t

=

1

ct+1

∴（4-t）2^m=4+2^t-1
存在符合条件的正整数m=t=3，