Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥A

如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：PE=BO；（2）设AC=2a，AP=x，四边形PBDE的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

解答：（1）证明：∠PDB=∠PBD=45°+∠PBO=45°+∠DPC（∠PDB外角）
∴∠PBO=∠DPC．
又∵BP=DP
∴Rt△BOP≌Rt△PDE
∴BO=PE；

（2）解：PE=AO=BO=OC=a，AP=x
EC=DE=OP=AO-AP=a-x
BC=AB=

2

a
作EF⊥CD，EF=EC?

2

2

y=S_△BPO+S_△BOC-S_△DCE
=

a2

2

+

a(a?x)

2

-

(a?x)2

2

=a²-

ax

2

-

(a?x)2

2

．（0≤x≤a）．