Question

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于O点，且BE=BF，∠B

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于O点，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。 （1）求证：OE=OF；（2）若BC= ，求AB的长。

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Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB。 ∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。 又∵AE=CF，∴△OEA≌△OFC（ASA）。 ∴OE=OF。 （2）如图，连接OB， ∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，∠ABO=∠OBF。 ∵∠BEF=2∠BAC，∴∠OBE=∠BAC。 又∵矩形ABCD中，∠ABC=90 0 ，∴∠BOE=∠ABC=90 0 。 ∴△OBE∽△BAC。∴ 。 ∵∠BEF=2∠BAC，∴∠OAE=∠AOE。∴AE=OE。 设AB=x，AE=OE=y，则 。 ∵BC= ，∴ 。 由（1）△OEA≌△OFC，得AO=CO，∴ 。 ∴ 。∴  ①。 又∵ ，即 ， 化简，得  ②。 由①②得 ，两边平方并化简，得 ， ∴ ，∴根据x的实际意义，得x=6。 ∴若BC= ， AB的长为6。

（1）由矩形的性质，结合已知可根据ASA证出△OEA≌△OFC，从而得出结论 （2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，∠ABO=∠OBF，从而得到△OBE∽△BAC，设出未知数和参数：AB=x，AE=OE=y，可得 ，在Rt△OBE中应用勾股定理得 ，二者联立，解出x即可。