Question

已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB．（1）求AB中点的轨迹方程；（2）求证：AB经过一

已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB．（1）求AB中点的轨迹方程；（2）求证：AB经过一定点，并求出定点坐标；（3）作OD⊥AB交AB于点D，求点D的轨迹方程．

Answer 1

（1）解：设OA：y=kx，AB中点（x，y），代入y²=2px得x=0，x=

2p

k2

，
∴A（

2p

k2

，

2p

k

），同理以-

1

k

代k得B（2pk²，-2pk）
∴x=p（k2+

1

k2

），y=p（

1

k

?k），消去k求得中点轨迹方程为y²=px-2p²．
（2）证明：若OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n．
代入抛物线方程可得y²-2pmy-2pn=0
∴x₁x₂+y₁y₂=

(y1y2)2

4p2

+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
即直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．
（3）解：设D（x，y），直线AB方程为y=kx+b，
由OD⊥AB得k=-

x

y

．
由y²=2px及y=kx+b消去y，得
k²x²+x（2kb-2p）+b²=0．
所以x₁x₂=

b2

k2

．消去x，得ky²-2py+2pb=0．所以y₁y₂=

2pb

k

．
由OA⊥OB，
得y₁y₂=-x₁x₂，所以

2pb

k

=-

b2

k2

，b=-2kp．
故y=kx+b=k（x-2p）．
用k=-

x

y

代入，得x²+y²-2px=0（x≠0）．
∴点D的轨迹是以（p，0）为圆心，以p为半径的圆，去掉坐标原点．