Question

A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y^2=2x上的两点，且OA垂直OB。 （1）求x1x2，y1y2； （2）求AB中点的轨迹方程

Answer 1

因为A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y^2=2x上的两点，则有y1=根号下2x1，y2=根号下2x2，
因为OA垂直OB，则有两直线的斜率乘积为-1，即
根号下-2x1/x1*根号下2x2/x2=-1，则根号下（x1*x2）=2，则x1*x2=4
则yi*y2=4

Answer 2

y^2=2x
x=y^2/2
A(y1^2/2,y1)
B(y1^2/2,y1)
（1）
OA斜率k1=y1/(y1^2/2)=2/y1
OB斜率k2=
y2
/(y2^2/2)=2/y2
k1*k2=-1
(2/y1)(2/y2)=-1
y1*y2=-4
x1*x2=(y1^2/2)(y2^2/2）=(y1*y2)^2)/4=4
（2）
AB中点M(x,y)
y=(y1+y2)/2
△ABO为
直角三角形

M为斜边AB的中点
MO=AB/2
x^2+y^2=((y1^2/2-y2^2/2)^2+(y1-y2)^2)/2
解
y=(y1+y2)/2
x^2+y^2=((y1^2/2-y2^2/2)^2+(y1-y2)^2)/2
y1*y2=-4
得
y^2=x-2